Konsequente Preisgestaltung und Absicherung eines fx Optionen Buch. Posted asInSide On 22 02 2016.Foreign Währungsraten Australien, einfachste Weg, um Geld in Sporen, Markt Club Aktienhandel, richtige Handel binäre Optionen auf Forex-Signale Software, Afrika Makler in Süd-Lager, Lion Börsenmakler begrenzt Nigeria, werden eine binäre Optionen Trader täglich, UK-Börsenmakler Arbeitsplätze, verdienen Cash Back Rewards Bank of America Debit-Karte, kostenlose ebook am Day Trading, wie Websites Geld durch Traffic. Food Gauge Futures Rohstoffe UK basierte technische Analyse Sonderangebot Sein Ruf für profitabel und nie mit einem technischen Schwerpunkt auf binäre Rückmeldung gehen ist sie eine dramatische Art und Weise fortgeschrittene Score Trading Ausbildung Australien alle über jedermann. 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Konsistente Preisgestaltung und Absicherung eines FX-Options-Buches.1 Konsequente Preisgestaltung und Absicherung eines FX-Optionsbuches L Bisesti, A Castagna und F Mercurio 1 Einleitung In der Devisen-FX-Optionen-Markt-out-the-money Optionen sind ganz Aktiv gehandelt und Zitate für die gleiche Art von Instrumenten sind jeden Tag mit sehr engen Spreads zumindest für die Hauptwährungen verfügbar. Dies ermöglicht es, ein Verfahren zur Extrapolation der impliziten Volatilitäten von nicht zitierten Optionen zu erarbeiten und uns zuverlässige Daten zu liefern Man kann eine beliebige Alternative zu den schwarzen und scholes 1973 BS Modell kalibrieren Brigo, Mercurio und Rapisarda 2004 haben eine Erweiterung des BS-Modells vorgeschlagen, wo sowohl die Volatilit Y und Zinssätze sind auf sehr einfache Weise stochastisch In diesem Modell, mit unsicherer Volatilität und unsicheren Zinssätzen UVUR, entwickelt sich das zugrunde liegende Vermögen als geometrische Brownsche Bewegung mit zeitabhängigen Koeffizienten, die anfangs nicht bekannt sind und deren Wert zufällig ist Gezogen zu einer unendlichfachen zukünftigen Zeit Wie von den Autoren selbst betont wird, kann das UVUR-Modell sehr allgemeine Volatilitätsoberflächen aufnehmen und im Falle des FX-Optionsmarktes eine perfekte Anpassung an die wichtigsten Volatilitätszitate erreichen. In diesem Artikel testen wir die Güte dieses Modells, soweit es einige grundlegende praktische Implikationen betrifft. Zunächst zeigen wir selbst die Anpassungsfähigkeit des Modells mit einem Beispiel aus realen Marktdaten. Wir unterstützen dann die Güte unserer Kalibrierung, indem wir eine Diagnose über die implizierten Vorwärtsvolatilitäten liefern Durch das Modell Wir vergleichen auch die Modellpreise einiger exotischer Optionen mit den entsprechenden, die durch eine Marktpraxis gegeben werden Wie man die geschickten sensitivitäten auf die Volatilität zurückführen kann und wie man dementsprechend ein typisches Optionsbuch absichert. Der Artikel ist wie folgt organisiert. Abschnitt 2 enthält eine kurze Beschreibung des FX-Optionsmarktes und seiner Volatilitätszitate Abschnitt 3 stellt das UVUR-Modell vor und beschreibt seine analytische Traktierbarkeit 4 behandelt ein Beispiel für die Kalibrierung auf reale Marktdaten Abschnitt 5 veranschaulicht eine Vorwärtsflüchtigkeitsfläche und einige Vorwärtsvolatilitätskurven, die durch die zuvor kalibrierten Parameter impliziert werden. Abschnitt 6 befasst sich mit der Frage der Preisgestaltung Produkt - und Geschäftsentwicklung und FX Options Trading, Banca IMI, Corso Matteotti, 6, 20121, Mailand, Italien Wir danken Aleardo Adotti, Leiter der Produkt - und Geschäftsentwicklung bei Banca IMI, für seine ständige Unterstützung und Ermutigung und Francesco Rapisarda und Micol Ghisoni für hilfreiche Diskussionen 1.2 exotische Optionen Abschnitt 7 betrachtet einen Explizites Beispiel für die Volatilitätsabsicherung, die auf ein bestimmtes Optionsbuch angewendet wird. § 8 schließt ab Der Artikel 2 Eine kurze Beschreibung des FX-Optionsmarktes Eine stilisierte Tatsache im Devisenmarkt ist, dass die Optionen je nach Delta zitiert werden, und nicht ihr Streik wie in anderen Optionen Markt Dies im Grunde spiegelt die klebrige Delta-Regel, nach denen implizite Volatilitäten Variieren nicht von einem Tag zum nächsten, wenn die verwandte Moneyness gleich bleibt, um es anders zu sagen, wenn sich der zugrunde liegende Wechselkurs bewegt und das Delta einer Option entsprechend ändert, dann muss eine andere implizite Volatilität in die Entsprechender Black and Scholes 1973 Formel Der FX Optionsmarkt zeichnet sich durch drei Volatilitätszitate bis zu relativ langen Verfall mindestens für den EUR-USD-Wechselkurs der Geldautomaten aus, ii die Risikoumkehr RR für die 25 Call und Put, Iii der vega-gewichtete Schmetterling VWB mit 25 Flügeln 1 Aus diesen Marktzitaten kann man leicht die impliziten Volatilitäten für den 25 Aufruf und Putten ableiten und dann auf ihnen ein ganzes Lächeln für den Bereich goin aufbauen G von einem 5 an einen 5 anruf Die Marktzitate Wir bezeichnen mit S t den Wert eines gegebenen Wechselkurses, sagen wir den EUR USD, zum Zeitpunkt t Wir setzen S 0 S 0 0 und bezeichnen jeweils durch P d 0, T und P f 0, t die inländischen und ausländischen Diskontfaktoren für die Fälligkeit t Wir betrachten dann eine Marktreife T Das Delta, zum Zeitpunkt 0, eines europäischen Aufrufs mit Streik K, Fälligkeit T und Volatilität ist durch ln S 0 P f gegeben 0, TP f KP 0, T 1 d 0, T 2 2 T, T wobei die Standard-Normalverteilungsfunktion 3 angegeben ist. Die Marktzitate für die Reife T sind wie folgt definiert Die ATM-Volatilität ist diejenige einer 0-Straddle, deren Streik für Jedes gegebene Verfall wird so gewählt, dass das zugehörige Put und Call das gleiche haben, aber mit verschiedenen Zeichen, die durch AT M die ATM-Volatilität für das Verfall T bedeutet, kann der ATM-Streik K AT M sofort abgeleitet werden P f 0, TK AT MS 0 P d 0, T e 1 2 2 AT MT 1 Der RR ist eine Struktur, bei der man einen Anruf kauft und einen Satz mit einem symmetrischen Delta verkauft. Der RR wird als Differenz zwischen den beiden implizierten Volata zitiert Ll, 25 c und 25 p 1 In Übereinstimmung mit dem Marktjargon fallen wir das Zeichen nach dem Delta-Level ab, so dass ein 25-Ruf einer ist, dessen Delta analog ist Ist gleichbedeutend mit einem P f 0, T x put, wobei P f unter 3 definiert ist. Beachten Sie, dass dieses Delta als diskontierte Wahrscheinlichkeit des Endes des Geldes unter dem mit dem numeraire S t P f 0, t 2.3 to Stecken Sie in die Black - und Scholes-Formel für den Aufruf und die Put-Bezeichnungen einen solchen Preis, in volatilitätsbedingt, von RR, wir haben RR 25 c 25 p 2 Die VWB wird durch den Verkauf einer Menge von ATM-Straddle und Kauf einer Menge aufgebaut Von 25 erwürgen, so hat die daraus resultierende struktur eine null Vega Der Schmetterling s Preis in volatilität, VWB, wird dann durch VWB definiert 25 c 25 p 2 AT M 3 Für das gegebene Verfall T sind die beiden impliziten Volatilitäten 25 c Und 25 p können sofort durch Lösen eines linearen Systems identifiziert werden. Wir erhalten 25 c AT MVWB RR 4 25 p AT MV WB 1 2 RR 5 Die beiden Streiks, die dem 25 Put und 25 Aufruf entsprechen, können nach einfacher Algebra aus ihren Definitionen P f 0, TK 25 p S 0 P d 0, T e 25 p T 2 25 p T 6 abgeleitet werden P f 0, TK 25 c S 0 P d 0, T e 25 c T 2 25 c T wobei 1 1 4 P f 0, T und 1 die inverse Normalverteilungsfunktion ist. Wir betonen, dass für typische Marktparameter und für Laufzeiten Bis zu zwei jahre, 0 und k 25 p K AT MK 25 c Ausgehend von den impliziten Volatilitäten 25 p, 25 c und AT M und den damit verbundenen Streiks kann man endlich das ganze implizite Volatilitätslächeln für das Auslaufen von TA aufbauen Z. B. in Castagna und Mercurio 2004 Ein Beispiel für Markt-Volatilitäts-Zitate ist in Tabelle 1 angegeben und die damit verbundene implizite Volatilitätsfläche ist in Abbildung 1 dargestellt. 3 Das UVUR-Modell Wir gehen davon aus, dass sich die Wechselkursdynamik nach dem unsicheren Volatilitätsmodell entwickelt Unsichere Zinssätze von Brigo, Mercurio und Rapisarda 2004 vorgeschlagen In diesem Modell ist der Austausch Rate unter der inländischen risikoneutralen Maßnahme folgt.4 wobei rdt und rft jeweils die inländischen und ausländischen momentanen Terminkurse für die Fälligkeit t, 0 und sind positive Konstanten, W ist eine Standard-Brownsche Bewegung und d, f ist zufällig Triplet, das unabhängig von W ist und Werte in der Menge von N gegebenen Tripletts von deterministischen Funktionen r1 t, drf 1 t, 1 t mit Wahrscheinlichkeit 1 r2 t, drfdt, f 2 t, 2 t mit Wahrscheinlichkeit 2 t, t rn dt nimmt , Rf N t, N t mit der Wahrscheinlichkeit N, wo die i strikt positiv sind und addieren zu eins Der zufällige Wert von d, f wird zum Zeitpunkt t gezeichnet. Die Intuition hinter dem UVUR-Modell ist wie folgt Der Wechselkursvorgang ist nichts anderes Eine BS-geometrische Brown'sche Bewegung, bei der die Vermögensvolatilität und die inländischen und ausländischen risikofreien Raten unbekannt sind, und man nimmt verschiedene gemeinsame Szenarien für sie an. Die Volatilitätsunsicherheit gilt für ein infinitesimales Anfangszeitintervall mit der Länge, an deren Ende die zukünftigen Werte von Volatilität und Die Raten sind gezeichnet. Daher entwickelt sich S für eine infinitesimale Zeit als geometrische Brownsche Bewegung mit konstanter Volatilität 0 und dann als geometrische Brownsche Bewegung mit der deterministischen Driftrate ri dtrfit und deterministische Volatilität, die sie zur Zeit gezogen hat. In diesem Modell sind beide interessiert Raten und Volatilität sind auf die einfachste Weise stochastisch Wie bereits von Brigo, Mercurio und Rapisarda 2004 erwähnt, reicht die Ungewissheit in der Volatilität allein aus, um implizite Volatilitätslächeln RR nahe Null zu berücksichtigen, während die Unsicherheiten bei den Zinssätzen eingeführt werden müssen, um Schiefe zu erfassen Effekte RR weit von Null Einstellen von ri dtrfit für t, itrdtrft und es 0 für t 0 und jedes i und tt M itis ds, V iti 2 s ds i 1 0 Wir haben, dass die Dichte von S zum Zeitpunkt t ist Nach der Mischung von lognormalen Dichten 2 M it SV i 2 t 8 0 Dementsprechend sind die europäischen Optionspreise Mischungen von BS-Preisen. Zum Beispiel der Arbitrage-Preis eines europäischen Aufrufs mit Streik K und Matte Ure t ist NP d 0, T i S 0 e M it ln S 0 MK es 1V 2 2 i T ln S 0 KMK es 1V 2 i 2 TV i 1 i TV i T 9 4 0,5 Weitere Details finden Sie in Brigo , Mercurio und Rapisarda 2004 Die analytische Traktierbarkeit zum Anfangszeitraum erstreckt sich auf alle Derivate, die unter dem BS-Paradigma explizit veranschlagt werden können. In der Tat können die Erwartungen der Funktionalitäten des Prozesses 7 durch Konditionierung auf die möglichen Werte von d, F, also die Erwartungen an die Funktionalitäten einer geometrischen Brownschen Bewegung zu nehmen, wobei die Erwartung unter der risikoneutralen Maßnahme mit der Erwartung unter der risikoneutralen Maßnahme bezeichnet wird, hat eine reibungslose Auszahlung VT zum Zeitpunkt T einen No-Arbitrage-Preis zum Zeitpunkt t 0, der durch V 0 P d 0 gegeben ist, TN i 1 i EVT d ri d, frfi, i N i 1 i V BS 0 rdi, rfi, i 10 wobei V BS 0 ri d, rfi, i den Ableitungspreis unter dem BS-Modell bezeichnet, wenn die risikofreien Raten sind Ri d und rfi und die Asset-Zeit-abhängige Volatilität ist i Die Vorteile von Modell 7 können wie folgt zusammengefasst werden i explizite Dynamik ii explizit marginal d Sorgfalt zu jeder Zeit Mischung von Lognormalen mit unterschiedlichen Mitteln und Standardabweichungen iii explizite Optionspreise Mischungen von BS-Preisen und allgemeiner formulare Formulierungen für Mittelwerte des europäischen Stils zum Anfang iv explizite Übergangsdichten und damit zukünftige Optionspreise v explizit angenähert Preise für Barrierewahlen und andere Exotik 4 vi potenziell perfekte Anpassung an alle lächeln - oder schräg geformten impliziten Volatilitätskurven oder - oberflächen 4 Ein Beispiel für die Kalibrierung Wir betrachten ein Beispiel für die Kalibrierung auf EUR-USD-Marktdaten ab dem 12. Februar 2004, als die Spot-Börse In Tabelle 1 sind die Marktzitate von EUR USD AT M, RR und VWB für die relevanten Laufzeiten von einer Woche 1W bis zwei Jahre 2Y zu verzeichnen, während in Tabelle 2 die entsprechenden in - und ausländischen Abzinsungsfaktoren die implizite Volatilitätsfläche berichten Aus den grundlegenden Volatilitätszitaten aufgebaut ist, ist in Tabelle 3 für die Hauptdeltas und in Fig. 1 dargestellt, wo wir für die Clearance willen sind Zeichnen Sie die implizite Volatilität in Bezug auf Deltas von 5 bis 95 und für die gleichen Fälligkeiten wie in Tabelle 1, um genau die inländischen und fremden Null-Coupon-Kurven an der Anfang 4 passen. Als Beispiel, die geschlossene Formulierung für Der Preis für einen Auf - und Abruf unter dem UVUR-Modell ist in Anhang A beschrieben. 5.6 AT M RR VWB 1W 11 75 0 50 0 190 2W 11 60 0 50 0 190 1M 11 50 0 60 0 190 2M 11 25 0 60 0 210 3M 11 00 0 60 0 220 6M 10 87 0 65 0 235 9M 10 83 0 69 0 235 1Y 10 80 0 70 0 240 2Y 10 70 0 65 0 255 Tabelle 1 EUR USD Volatilitätszitate ab dem 12. Februar T in Jahren P d 0, TP f 0, T 1W WMMMMMYY Tabelle 2 Inländische und ausländische Diskontfaktoren für die jeweilige Fälligkeitszeit müssen für jedes t 5 N i 1 N i 1, dh Rt 0 rd iu du P d 0, die folgenden No-Arbitrage-Einschränkungen auferlegt werden , Bindung Rt 0 rf iu du P f 0, t 11 Unsere Kalibrierung erfolgt dann durch Minimierung der Summe der quadratischen prozentualen Unterschiede zwischen Modell - und Marktvolatilitäten der 25 Puts, ATM-Puts und 25 Anrufe unter Beachtung der Einschränkung 11 Angesichts derjenigen, die willkürlich klein sind, haben wir den Grenzfall 0 bei der Berechnung der Optionspreise berücksichtigt 9 6 5 Wir können für die in - und ausländischen risikoneutralen Maßnahmen sicherlich dieselben nutzen, da diese Wahrscheinlichkeiten Ändere nicht beim Ändern der Maßnahme aufgrund der Unabhängigkeit zwischen W und d, f, 6 Wir bemerken, dass die Einstellung 0, 0 nicht mehr ein Optimierungsparameter ist. 67 10 p 25 p 35 p ATM 35 c 25 c 10 c 1W 11 96 11 69 11 67 11 75 11 94 12 19 12 93 2W 11 81 11 54 11 52 11 60 11 79 12 04 12 78 1M 11 60 11 39 11 39 11 50 11 72 11 99 12 77 2M 11 43 11 16 11 15 11 25 11 48 11 76 12 60 3M 11 22 10 92 10 90 11 00 11 23 11 52 12 39 6M 11 12 10 78 10 76 10 87 11 12 11 43 12 39 9M 11 04 10 72 10 71 10 83 11 09 11 41 12 39 1Y 11 00 10 69 10 68 10 80 11 06 11 39 12 38 2Y 11 02 10 63 10 60 10 70 10 94 11 28 12 34 Tabelle 3 EUR USD Volatilitätszitate ab 12. Februar Angesichts der hohen Freiheitsgrade, Wir setzen N 2 und nehmen an, dass die Inlandsrate d ist Deterministisch und gleich rd, so dass die erste Einschränkung in 11 automatisch befriedigt wird In der Tat, an nur zwei Szenarien festzuhalten und eine Unsicherheit nur in der Vermögensvolatilität und Fremdrate f zu nehmen, genügt es im betrachteten Fall und auch in vielen anderen Eine vollkommene Kalibrierung zu den drei Hauptvolatilitätszitaten für alle Fälligkeiten gleichzeitig erreichen Um die Kalibrierungsprozedur zu beschleunigen, haben wir auf eine nicht parametrische Schätzung der Funktionen f zurückgegriffen und unter der Annahme, dass rfi und i, i 1, 2 über jedes definierte Intervall konstant sind Durch konsekutive Marktreife Auf diese Weise können wir eine iterative Prozedur anwenden und eine implizite Volatilitätskurve zu einem Zeitpunkt kalibrieren, ausgehend von der ersten Reife und bis zum letzten Genauigkeit setzen wir t 0 0, t 1 1W, t 2 2W , T 3 1M, t 4 2M, t 5 3M, t 6 6M, t 7 9M, t 8 1Y, t 9 2Y und mit rfi, j und i, j die jeweils mit rfi und i angenommenen konstanten Werte bezeichnet , I 1, 2, in den Intervallen tj 1, tjj 1 9 Bei jeder Reife tj, dann op Zeitlich über rf 1, j, 1, j und 2, j, die die einzigen freien Parameter am j-ten Schritt sind, die in Formel 9 erscheinen, da wir rf 2, j als Funktion von rf 1, j durch die Zweite Einschränkung in 11 und auch die zuvor erhaltenen Werte r1,1, frf 1, j 1, 1,1 rf 1, j 1 und 2,1 rf 1, j 1 Die perfekte Anpassung an drei Hauptvolatilitäten für jede Fälligkeit gilt Zutreffend für viele verschiedene Spezifikationen des Wahrscheinlichkeitsparameters 1 Wir wählten dann ein optimales 1 durch Kalibrieren der gesamten impliziten Volatilitätsmatrix in Tabelle 3 unter der Einschränkung, dass die drei Hauptanmerkungen genau wiedergegeben werden. Wir erhalten 1 Die Werte der anderen Modellparameter werden angezeigt In Tabelle 4 In Tabelle 5 zeigen wir unsere Kalibrierungsfehler in absoluten Zahlen das Modell passt perfekt zu den drei Hauptvolatilitäten für jede Reife und verhält sich für fast alle Ebenen von Delta sehr gut Die Leistung schwankt leicht für extreme Flügel Allerdings ist der größte Fehler ganz Akzeptabel, da auch der Markt Bid-Ask Sprea Ds sind in der Regel höher Die perfekte Kalibrierung zu den grundlegenden Volatilitätszitaten ist für eine Vega-Aufschlüsselung entlang der Streik - und Laufzeitdimensionen unerlässlich. Dies ist für Händler sehr hilfreich, da es 7.8 Delta Maturity Abbildung 1 EUR USD implizite Volatilitäten in Prozentpunkten ab dem 12. Februar Sie zu verstehen, wo ihr Volatilitätsrisiko konzentriert ist Die Möglichkeit eines solchen Vega-Abbruchs ist ein deutlicher Vorteil des UVUR-Modells Im Allgemeinen ist die Berechnung der geschöpften Empfindlichkeiten weder einfach noch möglich, wenn wir von der BS-Welt abweichen. In der Tat klassisch Und weit verbreitete Stochastik-Volatilitätsmodelle, wie die von Hull and White 1987 oder Heston 1993, können keine geschöpften Empfindlichkeiten erzeugen. Ein Trader wird dann typischerweise gezwungen, auf eine gefährliche und unnatürliche Parameter-Hedging oder auf eine Gesamt-Vega-Hecke zurückzugreifen, die auf einer Parallelverschiebung basiert Der impliziten Flüchtigkeitsfläche In Abschnitt 7 werden wir zeigen, wie man einen Vega-Bruch berechnet und dementsprechend wie Um ein Buch von exotischen Optionen in Bezug auf Plain-Vanilla-Instrumente abzusichern 5 Die Vorwärtsflüchtigkeitsoberflächen Die Qualität der Kalibrierung auf implizite Volatilitätsdaten ist in der Regel ein unzureichendes Kriterium für die Beurteilung der Güte einer Alternative zum BS-Modell. In der Tat ist auch ein Händler Interessiert an der Entwicklung künftiger Volatilitätsoberflächen, die sich in der Preisgestaltung und vor allem bei der Absicherung exotischer Optionen wahrscheinlich stark auswirken werden. Sobald die deterministische zeitabhängige Volatilität und die Zinssätze d und f zur Zeit gezeichnet sind, wissen wir das Das Modell 7 verhält sich wie eine BS-geometrische Brown'sche Bewegung und führt so zu flachen impliziten Volatilitätskurven für jede gegebene Reife. Dies ist sicherlich ein Nachteil des Modells. Allerdings verbessert sich die Situation sinnvoll, wenn wir vorangehende implizite Volatilitätskurven betrachten. Eine implizite Volatilität ist definiert als Der Flüchtigkeitsparameter, der in die BS-Formel für die Vorwärtsstartoption gesteckt werden soll, um dem Modellpreis zu entsprechen 8.9 rf 1, j 1, j 2, j 1W 9 82 9 23 1 5 72 2W 5 14 8 96 15 36 1M 5 47 8 90 15 21 2W 3 44 8 26 15 21 3W 2 84 7 79 14 72 6M 3 09 7 92 15 05 9M 3 11 7 96 14 90 1Y 2 79 7 81 15 13 2Y 3 02 7 51 15 44 Tabelle 4 Kalibrierte Parameter für jede Reife 10 p 25 p 35 p ATM 35 c 25 c 10 c 1W 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 0 00 0 01 2W 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 0 00 0 01 1M 0 01 0 00 0 00 0 00 0 01 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 3 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 0 00 0 01 6M -0 02 0 00 0 01 0 00 0 00 0 00 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 2Y 0 02 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 Tabelle 5 Absolute Unterschiede in Prozentpunkten zwischen Modell und marktüblichen Volatilitäten Eine Forward Start Option mit Vorwärtsstartdatum T 1 und Fälligkeit T 2 ist eine Option, bei der der Streik Der Preis wird als Teil des Spotpreises zum Zeitpunkt T 1 festgelegt. Im Falle eines Anrufs ist die Auszahlung zum Zeitpunkt T 2 ST 2 st 1, deren BS-Preis zum Zeitpunkt 0 S 0 P f 0, T 2 ln P d 0 ist , T 1 P f 0, T 2 1 T pd 0, T 2 P f 0, T 1 2 1, T 2, 2 T 2 T 1 T 1, T 2, T 2 T 1 P d 0, T 2 P d 0, T 1 P f 0, T 1 ln P d 0, T 1 P f 0, T 2 1 T pd 0, T 2, T 2, T 2, T 2 T 1, T 2, T 2 T 1, wobei t 1, T 2 die Vorwärtsflüchtigkeit für das Intervall T 1, T 2 und Moneyness 9 12.10 12th F ebruar2004 drei monatlich 1W 11 75 10 63 2W 11 60 10 63 1M 11 50 10 63 2M 11 25 10 64 3M 11 00 10 65 6M 10 87 10 66 9M 10 83 10 65 1Y 10 80 10 63 2Y 10 70 10 62 Tabelle 6 Vergleich zwischen ATM-impliziten Volatilitäten ab dem 12. Februar 2004 und drei Monate vorwärts ATM implizite Volatilitäten In Abbildung 2 zeigen wir die dreimonatige Vorwärtsflüchtigkeitsfläche, die durch die vorherige Kalibrierung impliziert wird. Eine solche Fläche ist die Grafik von Funktion t 1, T 2, für verschiedene Werte von T 2 und bei T 1 auf 0 25 drei Monate Für eine konsistentere Darstellung und eine bessere Homogenität von Werten werden wir ersetzt, so dass wir für verschiedene Laufzeiten unterschiedliche Sätze verwenden Reife T 2 und wurde als die Geldmäßigkeit der Plain-Vanille-Option mit dem gleichen und berechnet Gleichzeitigkeit bis zur Fälligkeit T 2 T 1 In Tabelle 6 vergleichen wir die ATM-Volatilitäten ab dem 12. Februar 2004 und die dreimonatige Vorwärts-ATM implizite Volatilität Die Ebene der Oberfläche, wie sich aus den ATM-Volatilitäten ergibt, hält eine reguläre Laufzeitstruktur Die Form der Oberfläche sieht auch im Einklang mit dem anfänglichen aus. Ähnliche Plots können durch die Betrachtung unterschiedlicher Vorwärtsstartdaten erhalten werden. T 1 Dies stellt eine starke empirische Unterstützung für Modell 7 dar, da seine Vorwärtsflüchtigkeitsflächen regelmäßig und realistisch sind, da sie sich nicht unterscheiden Zu viel von der ersten Als ein weiteres Beispiel, in Abbildung 3 zeigen wir die Vorwärtsentwicklung des dreimonatigen impliziten Volatilitäts-Lächelns Zu diesem Zweck setzen wir T 2 T und betrachten die vorwärts impliziten Volatilitätskurven für T 1 Die Evolution ist sinnvoll Und realistisch auch in diesem Fall die Form des Lächelns hält die Features in der Regel auf dem Markt beobachtet 6 Preise exotische Optionen In diesem Abschnitt werden wir kurz beschreiben die empirische Verfahren von vielen p verwendet Zentren auf dem Markt zu erklären, implizite Volatilität lächelt in der Preisgestaltung von nicht zitierten Instrumenten Wir werden auch vergleichen die Preise für einige exotische Optionen mit der Marktpraxis mit denen aus dem UVUR-Modell mit N 2 Markt Praktiker neigen dazu, an einem BS-Konstante-Volatilität Modell, um exotische Optionen Preis, aber sie auch einige Regeln der Daumen, basierend auf Hedging-Argumente, um 10.11 Delta Maturity enthalten Abbildung 2 Die dreimonatige Vorwärts-Volatilität Oberfläche der Volatilität Oberfläche in die Preisgestaltung Um mit einem Lächeln - Förmige Volatilitätsfläche, Trader sichern ihre Positionen, indem sie niedrige Expositionen nicht nur in klassischen Griechen wie Delta, Gamma und Vega halten, sondern auch in einigen höherer Ordnung Griechen wie die DVegaDvol aka Volga und die DVegaDSpot aka Vanna Die Wolga misst die Empfindlichkeit der Vega von Die Option in Bezug auf eine Veränderung der impliziten Volatilität, während die Vanna die Empfindlichkeit der Vega in Bezug auf die Veränderung im Untoten misst Räumlicher Spotpreis Die Wolga kann als eine Sensitivität in Bezug auf die Volatilität der impliziten Volatilität betrachtet werden, während die Vanna als eine Sensitivität in Bezug auf die Korrelation zwischen dem zugrunde liegenden Vermögenswert und der impliziten Volatilität durch die Einstellung der Vega, der Vanna und der Volga des abgesicherten Portfolios gleich Null, Händler versuchen, das Modellrisiko zu minimieren, das sich aus der Verwendung von BS ergibt, was offensichtlich unvereinbar mit der Realität ist. Das Trader-Verfahren für die Preisgestaltung einer exotischen Option lässt sich wie folgt zusammenfassen: Er hat sie die Möglichkeit, Die BS-Formel, indem sie die ATM-Volatilität einbringt Er kalkuliert sie dann die Option s Vega, Vanna und Volga. Die damit verbundenen Engagements können durch den Kauf und Verkauf von passenden Zahlen von Out-of-the-money und at-the-money Optionen abgesichert werden Die liquidesten Optionen für jeden Verfall sind die ATM-Anrufe oder Puts und die 25 Anrufe und Puts, die drei Forderungen werden schließlich durch Kombinationen solcher Optionen abgesichert. Sobald die Hedging-Portfol Io ist gebaut, es ist mit dem richtigen Markt implizite Volatilitäten, die ihren wahren Marktwert, und dann mit einer konstanten at-the-money-Volatilität Preis Der Unterschied zwischen den beiden Werten wird hinzugefügt, um die BS-Preis der exotischen Option, so dass , Über das obige Absicherungsverfahren, das Marktlächeln in die Preisgestaltung Dieses Add-on wird in der Regel durch die Überlebenswahrscheinlichkeit gewichtet, wenn eine Barrier-Option beteiligt ist. Dies ist soweit es die Marktpraxis betrifft. Wir stellen nun zwei Beispiele dar, die 11.12 W 2w 1m 2m zeigen 3m 6m 9m 1y 2y Delta Abbildung 3 Die dreimonatige implizite Volatilität lächelt ab verschiedenen Vorwärtszeiten, die exotische Optionen, die mit 7 impliziert werden, nicht signifikant von denen abhängen, die durch das obige Verfahren gegeben wurden. Dies kann als weiteres Argument für das UVUR-Modell angesehen werden Die exotischen Optionen, die wir betrachten, sind zwei Barrier-Optionen ein Up Out Call und ein Down Out Put Valuations basieren auf den EUR-USD-Marktdaten zum 31. März 2004 in Tabelle 7, mit dem EUR-USD-Spot r Ate gesetzt Wir haben zuerst die beiden Optionen mit dem BS-Modell berechnet, dann berechnen wir die entsprechenden Anpassungen nach dem oben beschriebenen Marktregel und vergleichen schließlich die bereinigten Preise mit denen, die im UVUR-Modell angedeutet sind Werden nach der Formel 10 konsequent berechnet, dh wir verwenden einfach eine Kombination von BS-Barrier-Optionsformeln, indem sie für jedes Szenario die integrierte Volatilität entsprechend dem Anspruch des Verzugs setzen. 7 Ergebnisse sind in Tabelle 8 dargestellt. Die erste Option ist ein EUR-Aufruf Usd put getroffen bei knock out bei Auslauf in 6 Monaten Der BS-Preis ist US und die Anpassung an diesen theoretischen Wert ist positiv und gleich US Das UVUR-Modell bewertet diese Option US Die zweite Option ist ein EUR setzen usd Aufruf schlug und klopfte Out bei auslaufend in 3 Monaten Der BS-Preis ist US und in diesem Fall ist die Marktanpassung negativ und gleich US Der UVUR-Preis ist wieder sehr nahe an dem, was durch die Marktübungen des Modells impliziert wird Scheint daher mit den Anpassungen und Preisen des Marktes im Einklang zu stehen, zumindest in der EUR USD 7 Diese Formel ist nicht genau, da die tatsächlichen BS-Barrier-Optionspreise von der gesamten Begriffsstruktur der momentanen Volatilität abhängen und nicht nur von ihrem Mittelwert Können diese Preise nicht in geschlossener Form ausgedrückt werden und unsere Näherung erweist sich in den meisten FX-Marktbedingungen als äußerst genau. Ein vollständiger Katalog alternativer Approximationen für BS-Barrier-Optionspreise, in Gegenwart einer Begriffsstruktur der Volatilität, findet sich in Rapisarda 2003 12.13 AT M RR VWBP d 0, TP f 0, T 1W 13 50 0 00 0 19 W 11 80 0 00 0 19 M 11 95 0 05 0 19 M 11 55 0 15 0 21 M 11 50 0 15 0 21 M 11 30 0 20 0 23 M 11 23 0 23 0 23 Y 11 20 0 25 0 24 Y 11 10 0 20 0 25 Tabelle 7 Marktdaten für EUR USD per 31. März BS Wert BS Adj UVUR Up Out Aufruf Down Out put Tabelle 8 UVUR Modellpreise im Vergleich zu BS und BS plus Marktanpassungen Marktfall In Anwesenheit von steilen Schiefen wie im USD JPY Markt, Allerdings kann sich die Übereinstimmung zwischen dem Marktverfahren und dem UVUR-Modell erheblich verschlechtern. Es gibt tatsächlich bestimmte Kombinationen von Streiks und Barrierestufen, so dass die Korrekturen, die durch die beiden Ansätze impliziert werden, entgegengesetzte Zeichen haben. Man darf sich fragen, ob dies ein Hinweis darauf ist, dass das UVUR-Modell Fehlt bestimmte Derivate Die Antwort scheint jedoch im Allgemeinen negativ zu sein. In der Tat, mit dem Heston 1993-Modell als Referenz, wenn der UVUR-Preis deutlich anders ist als der, der durch den Marktansatz impliziert wird, ist der Heston-Preis definitiv mehr im Einklang mit Die ehemalige als die letzteren Dies ist ein weiteres Argument für das UVUR-Modell Im nächsten Abschnitt zeigen wir, wie man das UVUR-Modell auch in der Verwaltung eines Optionsbuches verwendet 7 Hedging eines Buches von exotischen Optionen Wie von Brigo, Mercurio und Rapisarda 2004, Modell 7 kann effizient für die Bewertung eines ganzen Optionsbuches verwendet werden. Dies ist im Wesentlichen auf die Möglichkeit der Preisgestaltung analytisch m Ost Derivate im FX-Markt Unsere praktische Erfahrung ist, dass es ein paar Sekunden dauert, um ein Buch mit Optionen zu bewerten, von denen die Hälfte Exotik, einschließlich der Zeit, die der Kalibrierung gewidmet ist. Dies ist eine unmögliche Aufgabe, mit jedem bekannten stochastischen Volatilitätsmodell zu erreichen Die konsequente Bewertung Von seinem ihr Buch ist aber nicht die einzige Sorge um eine Option 13.14 Trader Hedging ist in der Regel ein noch wichtigeres Thema zu adressieren In diesem Abschnitt werden wir zeigen, wie man mit dem Modell 7 die Änderungen eines Portfolios s absichert Aufgrund von Änderungen der Marktvolatilitäten Aus ökonomischer Sicht ist das UVUR-Modell durch Marktunvollständigkeit aufgrund der Zufälligkeit der Vermögensvolatilität geprägt. Grundsätzlich kann daher eine bedingte Forderung durch den zugrunde liegenden Vermögenswert abgesichert werden und a Gegebene Option In der Praxis gibt es jedoch mehrere Quellen der Zufälligkeit, die in der Theorie nicht richtig berücksichtigt werden. Deshalb ziehen die Händler es vor, alternative Hedging-Strategien zu implementieren Jene, die auf Vega-Bucketing basieren, wie wir im Folgenden veranschaulichen haben Wir haben bereits bemerkt, dass unter 7 ein Vega-Bruch möglich ist, dank der Modellfähigkeit der exakten Reproduktion der fundamentalen Volatilitätszitate Die Empfindlichkeit eines gegebenen Exotischen zu einer gegebenen impliziten Volatilität ist Leicht erhalten durch Anwendung des folgenden Verfahrens Man verschiebt eine solche Volatilität um einen festen Betrag, z. B. zehn Basispunkte. Dann passt man das Modell auf die geneigte Fläche und berechnet den Preis der exotischen, NEU, entsprechend den neu kalibrierten Parametern Initialpreis der Exotik, ihre Empfindlichkeit gegenüber der gegebenen impliziten Volatilität wird also als NEUES INI berechnet Für eine bessere Empfindlichkeit können wir auch den exotischen Preis unter einer Verschiebung berechnen. Wenn es aber klein genug ist, wenn auch nicht zu klein ist, neigt die Verbesserung dazu be negligible In practice, it can be more meaningful to hedge the typical movements of the market implied volatility curves To this end, we start from the three bas ic data for each maturity the ATM and the two 25 call and put volatilities , and calculate the exotic s sensitivities to i a parallel shift of the three volatilities ii a change in the difference between the two 25 wings iii an increase of the two wings with fixed ATM volatility 8 In this way we should be able to capture the effect of a parallel, a twist and a convexity movements of the implied volatility surface Once these sensitivities are calculated, it is straightforward to hedge the related exposure via plain vanilla options, namely the ATM calls or puts, 25 calls and 25 puts for each expiry A further approach that can be used for hedging is the classical parameter hedging In this case, one calculates the variations of the exotic derivative price with respect to the parameters of the model, namely the forward volatilities and the foreign forward rates We assume that the parameter is constant 9 If we have a number n of hedging instruments equal to the number of parameters, we can s olve a linear system Ax b, where b is a n 1 vector with the exotic s sensitivities obtained by an infinitesimal perturbation of the n parameters, and A is the n n matrix whose i-th row contains the variations of the n hedging instruments with respect the i-th parameter The instruments we use are, as before, the ATM puts, 25 calls and 25 8 This is actually equivalent to calculating the sensitivities with respect to the basic market quotes 9 This can be justified by the fact that turns out to mainly accommodate the convexity of the volatility surface, which, as measured by the butterfly, is typically very stable Besides, the effect of a change in convexity is well captured also by the difference between the volatilities in the two scenarios when N 2 14.15 puts for each expiry Since the model is able to perfectly fit the price of these hedging instruments, we have a one to one relation between the sensitivities of the exotic with respect to the model parameters, and its variations with re spect to the hedging instruments More formally, denoting by the exotic option s price, by p the model parameters vector and by R the market s data vector, we have d dr R p p R Exact calibration allows therefore an exact calculation of the matrix p R We now show how the barrier options of the previous section can be hedged in terms of plain vanillas under both the scenarios and parameter hedging procedures, presenting also a BS based hedging portfolio for both options Using again the market data as of 31 March 2004, we assume that both exotics have a nominal of 100,000,000 US and calculate the nominal values of the ATM puts, 25 calls and 25 puts that hedge them Table 9 shows the hedging portfolio suggested by the BS model the hedging plain vanilla options have the same expiry as the related barrier option and their quantities are chosen so as to zero the overall Vega, Vanna and Volga In Table 10 we show the hedging quantities calculated according to the UVUR model with the scenario appr oach The expiry of the hedging plain vanilla options is once again the same as that of the corresponding barrier options It is noteworthy that both the sign and order of magnitude of the hedging options are similar to those of the BS model 25 put 25 call ATM put Up Out call 79,008,643 54,195 556,533 Down Out put -400,852 348 163,095 Table 9 Quantities of plain vanilla options to hedge the barrier options according to the BS model 25 put 25 call ATM put Up Out call 76,409,972 42,089 796,515 Down Out put -338,476 078 195,436 Table 10 Quantities of plain vanilla options to hedge the barrier options according to the UVUR model with the scenario approach In the last two Tables 11 and 12 we show the results for the parametric approach In this case, the hedging portfolio is made of all the options expiring before or at the exotic s maturity, though the amounts are all negligible but the ones corresponding to the maturity of the barrier option Also in this case, signs and order of magnitude of the hedging amounts seem to agree with those obtained under the BS model and the UVUR 15.16 model with a scenario approach This should be considered as a further advantage of the UVUR model, both in terms of market practice and ease of implementation 25 put 25 call ATM put 1W W M M M M 77,737,033 44,319 151,192 Table 11 Quantities of plain vanilla options to hedge the six-month Up Out call according to the UVUR model with the parametric approach 25 put 25 call ATM put 1W W M M M -334,326 863 433,268 Table 12 Quantities of plain vanilla options to hedge the three-month Down Out put according to the UVUR model with the parametric approach 8 Conclusions Asset price models where the instantaneous volatility is randomly drawn at an infinitesimal instant after the initial time are getting some popularity due to their simplicity and tractability We mention, for instance, the recent works of Brigo, Mercurio and Rapisarda 2004 and Gatarek 2003 , who considered an application to the LIBOR marke t model Alternatives where subsequent draws are introduced have been proposed by Alexander, Brintalos and Nogueira 2003 and Mercurio 2002 At the same time, these models encounter some natural criticism because of their very formulation, which seems to make little sense from the historical viewpoint In this article, however, we try to demonstrate the validity of the above uncertain volatility models, focusing in particular on that proposed by Brigo, Mercurio and Rapisarda 2004 We verify that such a model well behaves when applied to FX market data Precisely, we show that it leads to a very good fitting of market volatilities, implies realistic forward volatilities, and allows for a fast and consistent valuation and hedge of a typical options book 16.17 Our tests on the model are indeed encouraging and may help in addressing the above natural criticism We in fact believe that a model should be judged not only in terms of its assumptions but also in terms of its practical implications App endix A the price of an up-and-out call The price at time t 0 of an up-and-out call UOC with barrier level H S 0, strike K and maturity T under model 7 is approximately given by N i S 0 e c 1 c 2 c 3 ln S 0 K c 1 2c 2 ln S 0 c H 1 2c 2 2c2 2c2 i 1 Ke c 3 ln S 0 K c 1 ln S 0 c H 1 He c 3 1 ln S 0 H c 1 1 2 c 2 2c2 2c2 ln S 0 H c 1 2 1 c 2 ln S 0 K c H 1 c 2 2c2 2c2 Ke c 3 ln S 0 H c 1 2 c 2 ln S 0 c H 1 2 c 2 2c2 ln S 0 K c H c 2 , 2c2 where 1 denotes the indicator function of the set A, and c 1 c i 1 Ri d 0, T R f i 0, T 1V 2 2 i 0, T c 2 c i 2 1V 2 2 i 0, T c 2 c i 3 Ri d 0, T i 2 R x i t, T V 2 i t, T T T t T t 0 Rd i t, T R f i t, T 1V 2 2 i t, T Vi 2 t, T dt r x i s ds, 2 i s ds T V 4 0 i x , t, T dt For a thorough list of formulas we refer to Rapisarda 2003 10 13 References 1 Alexander, C Brintalos, G and Nogueira, L 2003 Short and Long Term Smile Effects The Binomial Normal Mixture Diffusion Model ISMA Centre working paper 10 These formulas, including the above 13 , are only appr oximations, since no closed-form formula is available for barrier option prices under the BS model with time-dependent coefficients 17.18 2 Black, F and Scholes, M 1973 The Pricing of Options and Corporate Liabilities Journal of Political Economy 81, 3 Brigo, D and Mercurio, F 2000 A mixed-up smile Risk September, 4 Brigo, D Mercurio, F and Rapisarda, F 2004 Smile at the uncertainty Risk 17 5 , 5 Castagna, A and Mercurio, F 2004 Consistent Pricing of FX Derivatives Internal report Banca IMI, Milan 6 Gatarek, D 2003 LIBOR market model with stochastic volatility Deloitte Touche Available at 7 Heston, S 1993 A Closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options Review of Financial Studies 6, 8 Hull, J and White, A 1987 The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities Journal of Financial and Quantitative Analysis 3, 9 Mercurio, F 2002 A multi-stage uncertain-volatility model Internal report Banca IMI, Milan Available at 1 0 Rapisarda, F 2003 Pricing barriers on underlyings with timedependent parameters Banca IMI internal report Available at 18.FX Options and Smile Risk. Practical issues in FX options and smile risk FX Options and Smile Risk takes readers through the main technicalities of the FX spot and options markets, helping them develop practical trading skills that will enable them to run an FX options book in the real world It describes how to build FX volatility surfaces in robust and consistent ways and how to use them in the pricing of vanilla and exotic options It enables readers to effectively hedge exposures to volatility surface and other risks related to exotic options It s highly focused on the practical aspects of the pricing and hedging of the typical risks of an FX options desk and deals with the momentous issues of building consistent volatility matrices and a unified approach to pricing and hedging Antonio Castagna Milan, Italy is a Consultant at Iason Ltd, providing pricing and risk management expertise for complex products He has extensive experience in FX and derivatives, and was previously Head of Volatility Trading at Banca IMI Milan, where he set up the bank s FX Option more. Product details. Format Hardback 330 pages. Dimensions 177 8 x 256 54 x 25 4mm 725 74g. Publication date 08 Feb 2010.Publisher John Wiley and Sons Ltd. Imprint John Wiley Sons Ltd. Publication City Country Chichester, United Kingdom. Language English. Edition statement 1 Auflage. Illustrations note black white illustrations. ISBN10 0470754192.ISBN13 9780470754191.Bestsellers rank 391,361.People who bought this also bought. About Antonio Castagna. Antonio Castagna is currently partner and co-founder of the consulting company Iason ltd, providing support to financial institutions for the design of models to price complex derivatives and to measure a wide range of risks, including credit and liquidity Antonio graduated in Finance from LUISS University, Rome, in 1995 with a thesis on American options a nd the numerical procedures for their valuation He began his career in investment banking in IMI Bank, Luxemborug, as a financial analyst in the Risk Control Department before moving to Banca IMI, Milan, first as a market maker of cap floors and swaptions, before setting up the FX options desk and running the book of plain vanilla and exotic options on the major currencies, whilst also being responsible for the entire FX volatility trading Antonio has written a number of papers on credit derivatives, managing of exotic options risks and volatility smiles He is often invited to academic and post-graduate more. The next generation FX Options book has arrived Antonio Castagna has written up many years of his practical experience at the trading floor of Banca IMI It is a valuable collection of key ideas concerning the FX smile surface and hedging of first generation exotics I am very please Antonio took time to share his intuitive insights --Uwe Wystup, Managing Director of MathFinance AG I f you are really interested in hard science and technology of FX options market making, this is probably the best source from which to learn - most of the books content goes far beyond anything to be found in other monographs on the same subject Strongly recommended --Dariusz Gatarek, National Bank of Poland, Advisor to the Board Antonio Castagna formalizes the principles and concepts he has used during his trading activity on the FX market, an important asset class that occasionally does not receive the attention it deserves Attention is given to a wide range of topics, ranging a wide spectrum between theory and practice, from market quoting conventions to volatility surfaces, change of measure techniques, dynamic arbitrage-free models, hedging and risk analysis Among the several techniques presented to deal with volatility smile consistent pricing, I am glad room has been given to the mixture dynamics, one of the few tractable approaches where the Markovian projection is explicit and realized in the mixture diffusion and the uncertain volatility models, with striking results in the correlation between volatility and underlying in the projected diffusion version Overall this is an interesting and eclectic book for readers interested in learning or expanding their knowledge of the FX volatility market --Damiano Brigo, Managing Director, FitchSolutions, Londonshow more. Table of contents. Preface Notation and Acronyms 1 The FX Market 1 1 FX rates and spot contracts 1 2 Outright and FX swap contracts 1 3 FX option contracts 1 4 Main traded FX option structures 2 Pricing Models for FX Options 2 1 Principles of option pricing theory 2 2 The black-scholes model 2 3 The Heston Model 2 4 The SABR model 2 5 The mixture approach 2 6 Some considerations about the choice of model 3 Dynamic Hedging and Volatility Trading 3 1 Preliminary considerations 3 2 A general framework 3 3 Hedging with a constant implied volatility 3 4 Hedging with an updating implied volatility 3 5 Hedging Vega 3 6 Hedging Delta, Vega, Vanna and Volga 3 7 The volatility smile and its phenomenology 3 8 Local exposures to the volatility smile 3 9 Scenario hedging and its relationship with Vanna-Volga hedging 4 The Volatility Surface 4 1 General definitions 4 2 Criteria for an efficient and convenient representation of the volatility surface 4 3 Commonly adopted approaches to building a volatility surface 4 4 Smile interpolation among strikes the Vanna-Volga approach 4 5 Some features of the Vanna-Volga approach 4 6 An alternative characterization of the Vanna-Volga approach 4 7 Smile interpolation among expiries implied volatility term structure 4 8 Admissible volatility surfaces 4 9 Taking into account the market butterfly 4 10 Building the volatility matrix in practice 5 Plain Vanilla Options 5 1 Pricing of plain vanilla options 5 2 Market-making tools 5 3 Bid ask spreads for plain vanilla options 5 4 Cutoff times and spreads 5 5 Digital options 5 6 American plain vanilla options 6 Barr ier Options 6 1 A taxonomy of barrier options 6 2 Some relationships of barrier option prices 6 3 Pricing for barrier options in a BS economy 6 4 Pricing formulae for barrier options 6 5 One-touch rebate and no-touch options 6 6 Double-barrier options 6 7 Double-no-touch and double-touch options 6 8 Probability of hitting a barrier 6 9 Greek calculation 6 10 Pricing barrier options in other model settings 6 11 Pricing barriers with non-standard delivery 6 12 Market approach to pricing barrier options 6 13 Bid ask spreads 6 14 Monitoring frequency 7 Other Exotic Options 7 1 Introduction 7 2 At-expiry barrier options 7 3 Window barrier options 7 4 First-then and knock-in-knock-out barrier options 7 5 Auto-quanto options 7 6 Forward start options 7 7 Variance swaps 7 8 Compound, asian and lookback options 8 Risk Management Tools and Analysis 8 1 Introduction 8 2 Implementation of the LMUV model 8 3 Risk monitoring tools 8 4 Risk analysis of plain vanilla options 8 5 Risk analysis of digit al options 9 Correlation and FX Options 9 1 Preliminary considerations 9 2 Correlation in the BS setting 9 3 Contracts depending on several FX spot rates 9 4 Dealing with correlation and volatility smile 9 5 Linking volatility smiles References more. 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